Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я
считаю нужным сказать о слабой сходимости.
Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) [pic],
задано некоторое распределение [pic]с функцией распределения [pic]и
[pic] — произвольная с. в., имеющая распределение [pic].
Определение.
Говорят, что последовательность с. в. [pic]при [pic]сходится слабо или по
распределению к с. в. [pic] и пишут: [pic], или [pic], или [pic],
если для любого [pic]такого, что функция распределения [pic]непрерывна в
точке [pic], имеет место сходимость [pic] при [pic].
Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций
распределения во всех точках непрерывности предельной функции
распределения.
Свойство 1.
Если [pic], и функция распределения [pic]непрерывна в точках [pic]и [pic],
то
[pic] и т.д. (продолжить ряд).
Наоборот, если во всех точках [pic]и [pic]непрерывности функции
распределения [pic]имеет место, например, сходимость [pic], то [pic].
Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 2.
1. Если [pic], то [pic].
2. Если [pic], то [pic].
Свойство 3.
1. Если [pic]и [pic], то [pic].
2. Если [pic]и [pic], то [pic].
Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но
основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное
и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм
независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам
центральная предельная теорема.
Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901),
но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для
последовательности независимых и одинаково распределенных случайных
величин.
Центральная предельная теорема.
Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией: [pic]. Обозначим через [pic]сумму первых
[pic]случайных величин: [pic].
Тогда последовательность случайных величин [pic] слабо сходится к
стандартному нормальному распределению.
Доказательство.
Пусть [pic] — последовательность независимых и одинаково распределенных
случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через
[pic]математическое ожидание [pic]и через [pic] — дисперсию [pic].
Требуется доказать, что
[pic]
Введем стандартизированные случайные величины [pic] — независимые с.в. с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть
[pic]есть их сумма [pic]. Требуется доказать, что
[pic]
Характеристическая функция величины [pic]равна
[pic]
Характеристическую функцию с.в. [pic]можно разложить в ряд Тейлора, в
коэффициентах которого использовать известные моменты [pic], [pic]. Получим
[pic]
Подставим это разложение, взятое в точке [pic], в равенство и устремим
[pic]к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:
[pic]
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального
закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой
сходимости :
[pic]
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному
распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что
функция распределения [pic]любого нормального закона непрерывна всюду на
[pic], утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг
другу и равносильны утверждению ЦПТ.
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
. Если [pic] — произвольная с. в. со стандартным нормальным
распределением, то
[pic]
Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра — Лапласа.
Пусть [pic] — событие, которое может произойти в любом из [pic]независимых
испытаний с одной и той же вероятностью [pic]. Пусть [pic] — число
осуществлений события [pic]в [pic]испытаниях. Тогда [pic].
Иначе говоря, для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость
[pic]
Доказательство.
По-прежнему [pic]есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в.,
имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха
[pic]:
[pic]
[pic]
Осталось воспользоваться ЦПТ.
Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.
Пример 1.
З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на
одну сотую.
Р е ш е н и е. Требуется найти [pic], где [pic], [pic] — число выпадений
герба, а [pic] — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение
Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком
вероятности на [pic]и поделим на корень из дисперсии [pic]одного
слагаемого.
[pic]
Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность
[pic]
слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим
произвольную с. в. [pic], имеющую распределение [pic].
[pic]
Пример 2.
Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в
страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь
(размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет
существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику
(величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и
дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев
значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы
распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив
его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение
суммарного иска) как <Z> = <N><Q>
— где <N>, <Q> — среднее значение числа страховых случаев и величины
страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr:
Тr = [(Т0(()/(<N>(<Q>)]((<N>(DQ + <Q>2(DN) 0.5
— где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых
случаев.
В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их
дисперсия равна нулю), имеем:
Тr = (Т0(()/N0.5
Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации
уровня страховых выплат значительно меньше единицы.
При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая
величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей
представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в
отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная
величина всех рисковых надбавок.