Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Московский государственный институт электронной технки
(технический универститет)»
Курсовая работа
по дисциплине
«Теория вероятности и математическая статистика»
Тема работы
«Анализ данных в линейной регрессионной модели»
Выполнил:
Студент
группы ЭКТ 21
Рыжов
С.А.
Проверил:
Преподаватель
Бардушкина
И. В.
Москва 2010
Вариант
20.
Задание
1
Выполнить
предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:
1
построение
диаграммы рассеивания (корреляционного поля);
2
группировку
данных и построение корреляционной таблицы;
3
оценку числовых
характеристик для негруппированных и группированных данных.
Оценка числовых
характеристик для негруппированных данных:
X | Y | X | Y |
4,19 | 9,19 | 4,44 | 9,13 |
3,04 | 11,94 | 11,31 | 4,58 |
4,6 | 8,09 | 7,57 | 3,14 |
9,83 | 10,33 | 1,62 | 14,61 |
8,66 | 7,15 | 5,71 | 6,48 |
1,3 | 12,34 | 11,06 | 6,78 |
4,22 | 16,35 | 10,35 | 2,15 |
5,11 | 7,7 | 2,46 | 9,66 |
9,85 | 5,64 | 1,02 | 11,19 |
8,8 | 4,52 | 5,77 | 7,77 |
12,17 | 4,52 | 8,63 | 4,05 |
11,25 | 2,06 | 6,91 | 4,76 |
5,73 | 7,41 | 3,56 | 8,54 |
4,05 | 10,51 | 9,47 | 2,22 |
5,41 | 9,97 | 6,16 | 3,72 |
1,28 | 14,68 | 8,26 | 3,57 |
1,67 | 9,67 | 6,7 | 14,32 |
11,99 | 3,31 | 4,95 | 10,64 |
7,66 | 5,93 | 3,37 | 10,73 |
5,17 | 9,87 | 1,53 | 10,13 |
3,26 | 11,52 | 9,54 | 4,95 |
12,58 | 2,88 | 3,11 | 5,38 |
8,34 | 3,57 | 5,09 | 5,79 |
5,79 | 4,39 | 11,08 | 3,87 |
3,42 | 9,71 | 8,74 | 2,23 |
Сумма X | 317.78 | ||
Сумма Y | 369,18 | ||
MX |
6,3556 | ||
MY |
7,3836 | ||
s2X |
11,02005 | ||
s2Y |
15,31479 | ||
KXY |
9,1594 | ||
ρXY |
0,7194 |
Числовые характеристики
для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:
, ;
;
;
;
;
Построение
корреляционного поля:
Построение корреляционной
таблицы:
Таблица 1.1
Y X |
1.5 | 1.5 | 4.5 | 7.5 | 10.5 | 13.5 | 16.5 |
ni. |
2.5 | 0 | 0 | 1 | 1 | 8 | 3 | 0 | 13 |
5.5 | 0 | 0 | 4 | 5 | 6 | 1 | 1 | 17 |
8.5 | 1 | 1 | 8 | 1 | 1 | 0 | 0 | 12 |
11.5 | 0 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 8 |
nj. |
1 | 4 | 17 | 8 | 15 | 4 | 1 | 50 |
Оценка числовых характеристик
для группированных данных:
, ;
, ;
;
;
, ;
;
;
= 0.87
Задание 2
Для негруппированных
данных проверить гипотезу об отсуствии линейной статистической
связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);
Выборочное значение
статистики равно
,
Используя средства Matlab, найдем
Так как выборочное
значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H0 отклоняется в сторону гипотезы H1. Корреляция значима.
Задание 3
Для негруппированых
данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента
корреляции ρX,Y, при уровне значимости α = 0,05.
Используя средства Matlab, найдем
,
,
Задание 4
Для негруппированных и
группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.
Рассмотрим вначале случай
негруппированных данных.
Этот интервал не содержит
нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция
между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.
,
y(x) = 12,77 – 0,848*x;
x(y) = 10,86 – 0,6*y;
Проверка.
, .
, ;
,
, ;
Случай группированных
данных.
Подставим найденные
значения в
уравнеиня линейной регрессии Y
на x и X на y. Получим:
y(x) = 17,14 – 1,4*x;
x(y) = 10,83 – 0,54*y;
Проверка:
Задание 5
Для негруппированных
данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму
рассеивания.
Задание 6
Для негруппированных
данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s2 для дисперсии ошибок наблюдений σ2, найти коэффициент детерминации R2, построить доверительные интервалы
для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ2 и среднего значения Y при x = x0 .
Для негруппированных
данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов
регрессии: , , , , , , , .
Используя соотношение , вычислим
остаточную сумму
;
;
;
.
;
Тогда оценка дисперсии
ошибок наблюдений равна
.
Коэффициент детерминации
равен
.
Поскольку (знак ) , то сделаем проверку
правильности расчетов:
(верно).
Полученный результат для
коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 49,7% объясняет
общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .
Построим доверительные
интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.
С помощью Matlab найдем квантили распределений
Стьюдента и :
, , ;
– доверительный интервал
для параметра :
;
;
– доверительный интервал
для параметра :
;
;
– доверительный интервал
для дисперсии ошибок наблюдений :
;
.
-Найдем границы
доверительных интервалов для среднего значения при :
;
.
Задание 7. Для негруппированных данных
проверить значимость линейной регрессии Y на x
(уровень значимости α
= 0,05).
Гипотеза : отклоняется на уровне
значимости ,
так как доверительный интервал не накрывает нуль с
доверительной вероятностью 0,95.
Этот же результат можно
получить, используя для проверки гипотезу : и статистику .
С помощью Matlab найдем квантили распределения
Фишера:
, .
Выборочное значение
статистики равно:
.
Поскольку , то гипотеза : отклоняется на уровне
значимости .
Таким образом, линейная регрессия на статистически значима.
Задание №8
Для данных,
сгруппированных только по , проверить адекватность линейной
регрессии на
(уровень
значимости ).
Для проверки адекватности
воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов
группировки ,
, являются
значениями компоненты . Тогда число повторных наблюдений
равно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы
Таблица 1.2
|
2,5 | 5,5 | 8,5 | 11,5 |
|
11,94 12,34 14,68 9,87 11,52 9,71 14,61 9,66 11,19 8,54 10,73 10,13 5,38 |
9,19 8,09 16,35 7,70 7,41 10,51 9,97 9,87 4,39 6,48 7,77 4,76 3,72 14,32 10,64 5,79 9,13 |
10,33 7,15 5,64 4,52 4,52 3,57 3,14 4,05 2,22 3,57 4,95 2,23 |
4,52 2,06 3,11 2,88 4,58 6,78 2,15 3,87 |
|
13 | 17 | 12 | 8 |
|
10,79 | 8,59 | 9,65 | 3,74 |
Для удобства расчетов в
последней строке таблицы приведены средние значения , .
.
Получим уравнение
выборочной линейной регрессии на для данных, сгруппированных по :
;
, , , , ;
y(x) = 8,29 – 0,9x.
;
.
Выборочное значение
статистики равно
.
Так как квантиль
распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен
3,19,
то , а значит, линейная
регрессия на
для
данных, сгруппированных по , адекватна результатам
наблюдений.
Задание 9. Для негруппированных данных проверить
гипотезу : при
альтернативной гипотезе : (уровень значимости )
Имеются следующие
величины: , , , , .
Сначала проверяется
гипотеза : ,
альтернативная гипотеза : .
Статистика равна
= 1,931
С помощью средств Matlab, найдем:
F0,975 (n 1; n 1)=F0,975 (49,49) = 1.7622
z > F0,975 (n 1;
n 1),
следовательно отклоняется, а
значит что
Теперь можно проверить
гипотезу, : , при
альтернативной гипотезе : .
Т.к. , статистика имеет вид
= 1,418
Найдем количество степеней
свободы
≈3,625
С помощью средств Matlab, найдем:
z < , значит нет оснований отклонять
гипотезу : .
Приложение
A = [
4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.41
1.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.71
11.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.53
9.54 3.11 5.09 11.08 8.74;
9.19 11.94 8.09
10.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.31
5.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.66
11.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.79
3.87 2.23]
x =
A(1,:);
y =
A(2,:);
Mx = mean(x)
Dx = var(x,1)
My = mean(y)
Dy = var(y,1)
plot(x,y,«g*»)
grid on
hold on
axis([1 13 3 18]);
gca1 = gca;
set(gca1,«xtick»,[1 4 7 10 13],«ytick»,[ 3 0 3 6 9 12 15 18]);
xlabel(«X»);
ylabel(«Y»);
z =
12.77 0.848*x; %построение регрессии Y на x
Zplot = plot(z,x);
set(Zplot,«Color»,«Red»,«LineWidth»,[2])
hold on
text(12, 1,«x(y)»);
text(11.8,
2,«y(x)»);
t =
10.86 0.6*y; %построение регрессии X на y
Tplot = plot(t,y);
set(Tplot,«Color»,«Red»,«LineWidth»,[2])
hp =
line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение
set(hp,«Color»,«blue»,«LineWidth»,[1.5])
%среднего выборочного
hp = line([6.36 6.36],[ 3
7.38]);
set(hp,«Color»,«blue»,«LineWidth»,[1.5])
K =
cov(x,y) %находим ковариацию
DEtK
= det(K)
M =
corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции
detM
= det(M)